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Homework1

约 505 个字 预计阅读时间 2 分钟

问题一

1

1.1 求n维向量\(\mu\)

由题意有

\[\begin{aligned} \Sigma_{i=1}^kL_1(\mathbf{\mu,\sigma _i})&=\Sigma_{i=1}^k\Sigma_{j=1}^n|\mu_j-\sigma_j^i| \\ &=\Sigma_{j=1}^n\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i| \end{aligned}\]

想要其取最小值,对于给定的\(\mathbf{\Sigma}\),只要对于\(j\)寻找\(\mu_j\)使\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值.

我们将\(\mathbf{\sigma_j}\)升序进行排序,得到\(\mathbf{\hat{\sigma_j}}\),则

  • \(k\)为奇数,\(\mu_j=\hat{\sigma_j^{\frac{k+1}{2}}}\)时,\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值
  • \(k\)为偶数,\(\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}}}\leq\mu_j\leq\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}+1}}\)时,\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值

1.2 是否能根据\(\mu\)得出\(\sigma'\)

可以得到,若\(k\)为偶数,我们可以默认为\(\mu_j\)选择下界\(\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}}}\),若\(k\)为奇数则无需操作,再将所有数按从小到大排序,若出现大小相同的元素则可按位次随机分配,得到\(\sigma'\)

1.3 是否能根据\(\mu\)得出\(\sigma^{\ast}\)

不一定能,\(\mu\)中的元素有可能相等,而想要找到一个综合距离最小的\(\sigma^{\ast}\)则需要另外的调配。

2

\(\beta_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}\sigma_j^i\),可得\(\beta_j-\mu_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}\sigma_j^i-\mu_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}(\sigma_j^i-\mu_j)\)

又由三角不等式可得\(|\beta_j-\sigma_j^i|\leq|\beta_j-\mu_j|+|\mu_j-\sigma_j^i|\)

对上式求和有\(\Sigma_{i=1}^k|\beta_j-\sigma_j^i|\leq\Sigma_{i=1}^k|\beta_j-\mu_j|+\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\leq2\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)

得证

问题二

1

\[ \mathbf{S}=(7,8,-10,-5)^T \]

2

  • A-k-B: A-A-B(-5)+A-B-B(-5)=-10
  • A-k-C: A-B-C(-2)+A-D-C(19)=17
  • A-k-D: A-A-D(12)+A-D-D(12)=24
  • B-k-C: B-B-C(3)+B-C-C(3)=6
  • B-k-D: B-A-D(17)+B-C-D(-4)=13
  • C-k-D: C-C-D(-7)-C-D-D(-7)=-14
\[ \mathbf{S}^{(2)}=(31,29,-37,-23)^T \]

3

观察有\(\mathbf{S_i}^{(2)}=l\mathbf{S_i}+\Sigma m_{ij}\mathbf{S_j}\)

故有\(\mathbf{S}^{(2)}=\mathbf{MS}+\mathbf{lS}\)

\(\mathbf{M}^2\)各元素的意义

\(\mathbf{M}^2\)中各元素代表了某两只球队间二级比赛的次数。