Homework1¶
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问题一¶
1¶
1.1 求n维向量\(\mu\)¶
由题意有
想要其取最小值，对于给定的\(\mathbf{\Sigma}\)，只要对于\(j\)寻找\(\mu_j\)使\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值.
我们将\(\mathbf{\sigma_j}\)升序进行排序，得到\(\mathbf{\hat{\sigma_j}}\)，则
- 若\(k\)为奇数，\(\mu_j=\hat{\sigma_j^{\frac{k+1}{2}}}\)时，\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值
- 若\(k\)为偶数，\(\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}}}\leq\mu_j\leq\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}+1}}\)时，\(\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)取最小值
1.2 是否能根据\(\mu\)得出\(\sigma'\)¶
可以得到，若\(k\)为偶数，我们可以默认为\(\mu_j\)选择下界\(\hat{\sigma_j^{\frac{k}{2}}}\)，若\(k\)为奇数则无需操作，再将所有数按从小到大排序，若出现大小相同的元素则可按位次随机分配，得到\(\sigma'\)
1.3 是否能根据\(\mu\)得出\(\sigma^{\ast}\)¶
不一定能，\(\mu\)中的元素有可能相等，而想要找到一个综合距离最小的\(\sigma^{\ast}\)则需要另外的调配。
2¶
由\(\beta_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}\sigma_j^i\)，可得\(\beta_j-\mu_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}\sigma_j^i-\mu_j=\frac{1}{k}\Sigma_{i=1}^{k}(\sigma_j^i-\mu_j)\)
又由三角不等式可得\(|\beta_j-\sigma_j^i|\leq|\beta_j-\mu_j|+|\mu_j-\sigma_j^i|\)
对上式求和有\(\Sigma_{i=1}^k|\beta_j-\sigma_j^i|\leq\Sigma_{i=1}^k|\beta_j-\mu_j|+\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\leq2\Sigma_{i=1}^k|\mu_j-\sigma_j^i|\)
得证
问题二¶
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- A-k-B: A-A-B(-5)+A-B-B(-5)=-10
- A-k-C: A-B-C(-2)+A-D-C(19)=17
- A-k-D: A-A-D(12)+A-D-D(12)=24
- B-k-C: B-B-C(3)+B-C-C(3)=6
- B-k-D: B-A-D(17)+B-C-D(-4)=13
- C-k-D: C-C-D(-7)-C-D-D(-7)=-14
3¶
观察有\(\mathbf{S_i}^{(2)}=l\mathbf{S_i}+\Sigma m_{ij}\mathbf{S_j}\)
故有\(\mathbf{S}^{(2)}=\mathbf{MS}+\mathbf{lS}\)
\(\mathbf{M}^2\)各元素的意义¶
\(\mathbf{M}^2\)中各元素代表了某两只球队间二级比赛的次数。