Homework3¶
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问题一¶
1¶
微分方程：
假设向上为正方向，根据牛顿第二定律，我们可以得到微分方程有，
在上升过程中，重力与空气阻力同向：
\[\begin{aligned}
m\frac{dv}{dt}=-mg-f(v)
\end{aligned}\]
下降过程中，重力与空气阻力反向
\[\begin{aligned}
m\frac{dv}{dt}=-mg+f(v)
\end{aligned}\]
上升阶段时间\(t_a\)：
上升阶段结束时，有\(v(t_a) = 0\)，可通过积分微分方程来找到\(t_a\)的表达式，有：
\[\begin{aligned}
\int_{v_0}^{0} -\frac{mdv}{mg+f(v)} = t_a
\end{aligned}\]
下落阶段时间\( t_d \)：
下落阶段开始时，小球的速度\( v(t_a) = 0 \)，结束时速度为\( v_f \)。同样可以通过积分微分方程来找到 \( t_d \) 的表达式：
\[\begin{aligned}
\int_{0}^{v_f} -\frac{mdv}{mg - f(v)} = t_d
\end{aligned}\]
最终速度\( v_f \)：
最终速度 \( v_f \) 同样可以通过积分微分方程解得：
\[\begin{aligned}
\int_{0}^{t_d} \frac{-mg+f(v)}{m}dt = v_f
\end{aligned}\]
2¶
\( t_a \) 与 \( t_d \) 的大小关系：
上升与下降通过了相同的路程，有
\[\begin{aligned}
h&=\int_{0}^{t_a}\int_{0}^{t_a} \frac{mg+f(v)}{m}dt dt \\
&=\int_{0}^{t_d}\int_{0}^{t_d} \frac{mg-f(v)}{m}dt dt
\end{aligned}\]
可见，上升过程中，重力与空气阻力同向，加速度比下降过程中要大，故有\(t_a<t_d\)
\( v_f \) 与 \( v_0 \) 的大小关系：
由能量守恒定律有：
\[\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv^2&=mgh+\int_{0}^{h}f(v)dx \\
&=mgh-\int_{0}^{t}f(v)vdt
\end{aligned}\]
于是有
\[\begin{aligned}
\frac{1}{2}mv_0^2&=mgh+\int_{0}^{t_a}f(v)vdt \\
\frac{1}{2}mv_f^2&=mgh-\int_{0}^{t_d}f(v)vdt
\end{aligned}\]
可得 \( v_f < v_0 \)
问题二¶
1¶
由题意可得，初始时刻水平运动速度\(v_x=vcos\theta\)，竖直运动速度\(v_y=vsin\theta\)。可得水平位置和垂直位置的参数方程，
\[\left\{\begin{array}{ll}x(t)=vcos\theta\cdot t\\y(t)=vsin\theta\cdot t-\frac12gt^2\end{array}\right.\]
可得关于轨迹长度\(L\)的积分
\[\begin{aligned}
L(v,\theta)=\int_0^{\frac{2vsin\theta}g}\sqrt{(vcos\theta)^2+(vsin\theta-gt)^2}dt
\end{aligned}\]
2¶
对于\(L(v,\frac\pi2)\)易得
\[\begin{aligned}
L(v,\frac\pi2)&=\int_0^{\frac{2v}g}\sqrt{(v-gt)^2}dt \\
&=\int_0^{\frac{2v}g}|v-gt|dt \\
&=\frac{v^2}g
\end{aligned}\]
对于\(L(v,\frac\pi4)\)我们有
\[\begin{aligned}
L(v,\frac\pi4)&=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}v }{g}} \sqrt{ \frac{v^2}{2} + ( \frac{\sqrt{2}v}{2} - g t )^2 } dt \\
&=\frac{v^2}g\cdot\frac{ln\frac{\sqrt2+2}{2-\sqrt2}+2\sqrt2}{4} \\
&>\frac{v^2}g
\end{aligned}\]
故有\(L(v,\frac\pi2)<L(v,\frac\pi4)\)
3¶
我们对\(L(v,\theta)\)求导可得
\[\begin{aligned}
\frac{dL}{d\theta}&=\sqrt{(v\cos\theta)^2+(v\sin\theta-gT)^2}\cdot\frac{dt}{d\theta}+\int_0^T\frac{d}{d\theta}\sqrt{(v\cos\theta)^2+(v\sin\theta-gt)^2}dt \\
&=\frac{2v^{2}\cos^{2}\theta}{g}-vg\cos\theta\int_{0}^{T}\frac{t}{\sqrt{(v\cos\theta)^{2}+(v\sin\theta-gt)^{2}}}dt\\
&=0
\end{aligned}\]
解得\(\theta=\frac\pi4\)时，\(L(v,\theta)\)取极大值。