Homework5¶
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问题一¶
1¶
若有\(k\)人参与维修设施，则
| 参与维修\(k\)人 | 未参与维修\(n-k\)人 | |
|---|---|---|
| \(k=0\) | none | \(0\) |
| \(k>0\) | \(v-c\) | \(v\) |
有Nash均衡解\(k=1\)，即仅一人参与维修
2¶
令第\(i\)位市民为\(G_i\)，则
- 当\(G_n\)选择“参与维修”时，他的收益一定为\(v-c\)
- 当\(G_n\)选择“视而不见”时，他的期望收益为\(v\cdot [1-(1-p)^{n-1}]\)
3¶
对于对称Nash均衡，所有市民的混合策略\((p,q)\)均相等。令\(G_i\)的混合策略为\((p,q)\)，其他人混合策略为\((p_0,q_0)\)。现在希望求得\((p,q)=(p_0,q_0)\)的Nash均衡。可得\(G_i\)的期望收益为：
\[\begin{aligned}
E(p)&=p\cdot (v-c)+(1-p)[1-(1-p_0)^{n-1}]\cdot v \\
&=v-pc-(1-p)(1-p_0)^{n-1}v
\end{aligned}\]
对\(E(p)\)求导得
\[
\frac{dE}{dp}=-c+(1-p_0)^{n-1}v=0
\]
\[
p_0=1-(\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}}
\]
故混合策略下的对称Nash均衡解为\((1-(\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}},(\frac{c}{v})^{\frac{1}{n-1}})\).
我们可以发现当总人数\(n\)增大时，\(p\)是在减小的，这正对应了那句古语：“一个和尚挑水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝”的现象，人越多，大家便约不觉得这是自己应该做的。
问题二¶
1¶
机构收益矩阵为
| 机构 | 排放 | 不排放 |
|---|---|---|
| 检查 | \(1\) | \(V(m-1,n-1)\) |
| 不检查 | \(-1\) | \(V(m,n-1)\) |
2¶
设机构有混合策略\((p,1-p)\)，企业有混合策略\((q,1-q)\)，可得递推式
\[
V(m,n)=pq+p(1-q)V(m-1,n-1)-(1-p)q+(1-p)(1-q)V(m,n-1)
\]
令混合策略Nash均衡下机构有混合策略\((p_0,1-p_0)\)，企业有混合策略\((q_0,1-q_0)\)。我们有：
\[\left\{\begin{array}{ll}
p-(1-p)=pV(m-1,n-1)+(1-p)V(m,n-1) \\
q+(1-q)V(m-1,n-1)=-q+V(m,n-1)
\end{array}\right.\]
可解得：
\[\left\{\begin{array}{ll}
p=\frac{1+V(m,n-1)}{2-V(m-1,m-1)+V(m,n-1)} \\
q=\frac{V(m,n-1)-V(m-1,n-1)}{2-V(m-1,n-1)+V(m,n-1)}
\end{array}\right.\]
代回递推式有：
\[
V(m,n)=\frac{V(m,n-1)+V(m-1,n-1)}{2+V(m,n-1)-V(m-1,n-1)}
\]
其有初始值\(V(0,t)=-1,V(t,t)=1,k\in N^{*}\)
3¶
\[
V(1,n)=\frac{V(1,n-1)+V(0,n-1)}{2+V(1,n-1)-V(0,n-1)}=\frac{V(1,n-1)-1}{V(1,n-1)+3}
\]
令\(V(1,n)=x_n\)，有
\[
V(1,n)=x_n=\frac{x_{n-1}-1}{x_{n-1}+3}
\]
化简有
\[
\frac1{x_n+1}=\frac12+\frac1{x_{n-1}+1}=\frac12(n-1)+\frac1{x_1+1}=\frac12n
\]
解得
\[
V(1,n)=x_n=\frac2n-1
\]