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2.1

令伪币质量为\(W'\)，有

\[\begin{aligned} M_1&=(N-|I|)W+|I|W' \\ M_2&=W\Sigma_{i\notin I}p^i+W'\Sigma_{i\in I}p^i \end{aligned}\]

将\(W'\)消去得到

\[\begin{aligned} (M_1-(N-|I|)W)\Sigma_{i\in I}p^i&=(M_2-W\Sigma_{i\notin I}p^i)|I| \\ (M_1-NW)\Sigma_{i\in I}p^i&=(M_2-W\Sigma_{i\notin I}p^i-W\Sigma_{i\in I}p^i)|I| \\ &=(M_2-W\Sigma p^i)|I| \\ &=(M_2-W\frac{p(1-p^N)}{1-p})|I| \end{aligned}\]

由此我们可构造函数

\[\begin{aligned} F(M_1,M_2,W,N,p)&=\frac{M_2-\frac{p(1-p^N)}{1-p}W}{M_1-NW}=\frac{\Sigma_{i\in I }p^i}{|I|} \end{aligned}\]

2.2

若由\(\frac{\Sigma_{i\in I }p^i}{|I|}\)可得唯一的\(m,I\)，则不存在\(I'\neq I\)，使\(\frac{\Sigma_{i\in I }p^i}{|I|}=\frac{\Sigma_{i\in I' }p^i}{|I'|}\)，而\(|I|,|I'|\leq N\)，故\(p>N\)时，可以确定唯一的\(m,I\)。

当\(p=2\)时，可能有\(\frac{2}{2^1}=\frac{1}{2^0}\)，无法判断